Urutan ortonormal lengkap

1. Apa urutan ortonormal lengkap?
2. Adalah ruang hilbert lengkap?
3. Adalah ruang hilbert tertutup?
4. Apakah ruang hilbert?

Apa urutan ortonormal lengkap?

Definisi ‍14 Urutan ortonormal (e_saya) Dalam ruang hilbert h selesai jika identitas ⟨y, e_k ⟩ = 0 untuk semua k menyiratkan y = 0. Urutan ortonormal lengkap juga disebut basis ortonormal di h. Teorema ‍15 ‍ (berdasarkan ortonormal) Biarkan e_saya menjadi basis ortonormal dalam ruang hilber h. Kemudian untuk x∈ H yang kita miliki. x =

Adalah ruang hilbert lengkap?

Dengan demikian, ruang produk dalam apa pun adalah ruang linier yang dinormal. Kami akan selalu menggunakan norma yang ditentukan dalam (6.1) Pada ruang produk dalam. Definisi 6.2 Ruang Hilbert adalah ruang produk dalam yang lengkap.

Adalah ruang hilbert tertutup?

(B) Setiap subruang dimensi terbatas dari ruang Hilbert ditutup. Misalnya, jika M menunjukkan rentang elemen X1 yang sangat halus, ... . xn dalam h, maka himpunan m dari semua kombinasi linier yang mungkin dari elemen -elemen ini adalah dimensi terbatas (dari dimensi n), karenanya ditutup dalam h.

Apakah ruang hilbert?

Misalnya, RN adalah ruang hilbert di bawah produk titik biasa: 〈V, w  = v · w = v1w1 + ··· + vnwn. Secara umum, ruang produk dalam dimensi terbatas adalah ruang Hilbert. Teorema berikut memberikan contoh ruang Hilbert dimensi tak terbatas.